フーリエ解析の関係性をわかりやすく解説：フーリエ級数、複素フーリエ級数、フーリエ変換、フーリエ積分

はじめに

フーリエ解析は、複雑な波形や信号を単純な構成要素に分解するための強力な数学的手法であり、科学技術の様々な分野で応用されています。
しかし、「フーリエ級数」「複素フーリエ級数」「フーリエ変換」「フーリエ積分」といった用語が登場し、それらの関係性が分かりにくいと感じる方もいるかもしれません。

この記事では、以下の全体像を手がかりに、これら4つの概念がどのように繋がり、発展していくのか、その全体像をステップバイステップで解説します。

ステップ①：フーリエ級数展開

まずはフーリエ解析のスタート地点である【①フーリエ級数展開】から見てみます。
これは周期Tを持つ関数f(x)を、元信号の正数倍の（角）周波数を持つcos波、sin波の無限和で表現する方法です。

\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}[a_n cos(n\omega x) + b_n sin(n\omega x)] \]

ここで、a_n, b_nはフーリエ係数と呼ばれ、元の関数f(x)が各周波数成分(nω)をどれだけ含んでいるかを表します。
これらは以下の積分計算で求められます。

\[ \begin{align}
&a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x)cos(n\omega x) dx \quad (n = 0,1,2…) \\
&b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x)sin(n\omega x) dx \quad (n = 1,2…)
\end{align}
\]

なぜこのように表現できるかは、以下の記事で解説しているので、もし興味がある方はご覧ください。

ステップ②：複素フーリエ級数 – よりシンプルな表現へ

次に図の右上、【②複素フーリエ級数】に進みます。
これはステップ①のフーリエ級数展開を、オイラーの公式（\(e^{i\theta} = cos\theta + isin\theta \)）を用いて簡略化したものです。

オイラーの公式を用いると、cosθ, sinθは以下のように表せます。

\[ \begin{align}
&cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \\
&sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}
\end{align} \]

これを先ほどのフーリエ級数展開へ代入すると、同じく周期Tの関数f(x)は以下のように表せます。

\[ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{in\omega x} \]

ここで、c_nは複素フーリエ係数と呼ばれ、以下の積分で計算されます。

\[ c_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}f(x)e^{-in\omega x}dx \quad (n=…-1,0,1…) \]

係数がc_n一つにまとまり、級数の形も非常にシンプルになりました。

非周期関数への拡張：周期T→∞

ステップ①と②のフーリエ級数は、周期関数にしか適用できません。しかし、世の中には周期的ではない現象も多く存在します。これらの非周期関数を周波数成分に分解するにはどうすればよいでしょうか？

「非周期関数を周期 T が無限大 (T→∞) の周期関数とみなす」という考え方を導入します。図中の上段（①、②）から下段（④、③）への矢印は、この T→∞ の操作（無周期関数への拡大）を表しています。

この極限操作により、以下の変化が起こります。

• 基本周波数 \(\omega = \frac{2\pi}{T} \) が 0 に近づき、正数倍した周波数の間隔が無限に小さくなる。
• 離散的な周波数の和 (∑) が、連続的な周波数の積分 (∫) になる。
• フーリエ係数（離散的な値）が、周波数 ω の連続的な関数（スペクトル関数）になる。

ステップ③：フーリエ変換

図の右下【③フーリエ変換】は、ステップ②の複素フーリエ級数を非周期関数へ拡張したものです。
このとき、複素フーリエ係数に相当するものが、一般的にフーリエ変換と呼ばれるものです。

非周期関数f(x)は以下のように表せます。
これが一般に逆フーリエ変換と呼ばれるものです。

\[f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega x}d\omega \]

ここで、F(ω)は以下のように計算されます（フーリエ変換）。

\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx \]

F(ω) は周波数スペクトルと呼ばれ、元の関数 f(x) が連続的な角周波数 ω の成分をどれだけ含んでいるかを示します。

ステップ④：フーリエ積分

最後に図の左下【④フーリエ積分】を見てみましょう。
これはステップ①のフーリエ級数展開を非周期関数へ拡張したものです。
このとき、非周期関数f(x)は以下のように表せます。

\[f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}[A(\omega)cos\omega x + B(\omega)sin\omega x]d\omega \]

ここで、A(ω), B(ω)は以下で与えられます。

\[ \begin{align}
&A(\omega) = \int_{0}^{\infty}f(x)cos\omega xdx \\
&B(\omega) = \int_{0}^{\infty}f(x)sin\omega xdx
\end{align} \]

これはフーリエ変換の実数表現とみなすことができます。
実際、図の④から③への矢印が示すように、フーリエ積分にオイラーの公式を適用して整理すると、ステップ③の式と等価になります。

全体像のまとめ：図が示す関係性

改めて図全体を眺めてみます。

• 縦の関係（上段 → 下段）： 周期関数から非周期関数への拡張 (T→∞)。離散和が連続積分になります。
• 横の関係（左側 → 右側）： 実数表現から複素数表現への簡略化（オイラーの公式）。数式がよりシンプルになります。

この図は、フーリエ解析の主要な4つの概念が、

1. 周期性（周期関数か非周期関数か）
2. 表現形式（実数か複素数か）

という2つの軸で整理され、互いにどのように関連しているかを示しています。
特に、右下のフーリエ変換が、非周期関数を扱う上で、複素数を用いることで最も汎用性が高く、理論的にも扱いやすい形になっていることがわかります。